Bab 4. Contoh 4.1 : Berikut adalah beberapa contoh notasi vektor : b. b = b 1 i ˆ +b kˆ

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Bab 4. Contoh 4.1 : Berikut adalah beberapa contoh notasi vektor : b. b = b 1 i ˆ +b kˆ"

Yuliana Gunawan
6 tahun lalu
Tontonan:

1 B 4 Vektor di Bidng dn di Rng Vektor merpkn esrn yng mempnyi rh. Pd ini kn dijelskn tentng ektor di idng dn di rng, yng diserti opersi dot prodct, cross prodct, dn penerpnny pd proyeksi ektor dn perhitngn ls st segitig di rng -dimensi. Setip ektor terset dpt dinytkn secr geometris segi segmen gris errh pd idng t rng, dengn notsi gris erpnh. Ekor pnh gris terset merpkn titik wl ektor, sedngkn jng pnh segi titik khir (jng) ektor terset. 4. OPERASI VEKTOR Seperti hlny mtriks, setip ektor dpt di dikenkn opersi ljr, seperti penjmlhn dn perklin. Notsi ektor dpt ditliskn dengn menggnkn hrf kecil dicetk tel t hrf kecil dengn gris ditsny. Sedngkn nsr ektor terset ditlis errtn t seperti mtriks st kolom t memki notsi ektor stn i ˆ, ĵ, dn kˆ. Contoh 4. : Berikt dlh eerp contoh notsi ektor :. (,, ) c. i ˆ + kˆ c. c c ĵ + c

2 48 B 4 Vektor di Bidng dn di Rng Penjmlhn Vektor Mislkn dn dlh ektor ektor yng erd di rng yng sm, mk ektor + didefinisikn segi seh ektor yng titik wlny sm dengn titik wl dn titik khirny merpkn titik jng dri ektor (setelh digeser sehingg titik wl ektor diletkn pd jng ektor. Agr leih jels, perhtikn ilstrsi erkt ini : + yng digeser Gmr 4. Ilstrsi penjmlhn d h ektor pd idng Perklin Vektor. Perklin ektor dengn sklr Vektor nol didefinisikn segi ektor yng memiliki pnjng nol. Mislkn ektor tk nol dn k dlh sklr, k R. Perklin ektor dengn sklr k, k didefinisikn segi ektor yng pnjngny k kli pnjng ektor dengn rh memiliki ketentn segi erikt : Jik k > 0 serh dengn Jik k < 0 erlwnn rh dengn

3 Aljr Liner Elementer Adiwijy 49 Gmr 4. Ilstrsi perklin ektor dengn sklr Secr nlitis, ked opersi pd ektor dits dpt dijelskn segi erikt : Dikethi dn merpkn ektor-ektor di rng (R) yng komponen komponenny dlh (, ) dn, ) mk : (, ( +, +, ) (,, ) ( k, k k ) + + k,. Perklin ntr d h ektor. Perklin ntr d h ektor hny dpt dilkkkn jik ked ektor terset erd pd rng yng sm. Perklin ntr d h ektor terset melipti : o Hsil kli titik (dot prodct) o Hsil kli silng (cross prodct) Berikt ini kn dijelskn secr leih detil tentng d jenis perklin ntr d h ektor.

4 50 B 4 Vektor di Bidng dn di Rng 4. HASIL KALI TITIK Hsil kli titik merpkn opersi ntr d h ektor yng kn menghsilkn sklr. Misl dn dlh ektor pd rng yng sm mk hsil kli titik ntr dn didefinisikn oleh cosα, (4.) dimn dn msing-msing merpkn pnjng ektor dn sert α merpkn sdt yng dientk ntr ektor dn ektor. Ingt kemli definisi pnjng (norm) st ektor r sems si sekolh menengh, yit : jik (, ) mk r +. Contoh 4. : Tentkn hsil kli titik dri d ektor erikt : i dn i + j Jw : Kren tn α, rtiny α 45 0 Sehingg

5 Aljr Liner Elementer Adiwijy 5. cos α 8 4 Bgimn cr menghitng hsil kli titik di R N dn d h ektor tnp dikethi sdt ntr ked ektor terset? Untk hl terset, ingt kemli tentng trn cosins : β + c c cos α c α δ Gmr 4. Ilstrsi trn cosins Selnjtny, kn dijelskn hngn d ektor posisi dengn trn cosins. Perhtikn ilstrsi d ektor di rng R erikt ini : ( - ) θ Gmr 4.4 Ilstrsi trn cosins d ektor dn selisihny

6 5 B 4 Vektor di Bidng dn di Rng Notsi ektor pd Gmr 4.4, kn dirh dlm notsi pnjng (norm) ektor, yit : - θ Gmr 4.5 Atrn Cosins Norm D Vektor dn Selisihny Menrt trn cosins pd ilstrsi dits, mk : + Selnjtny : cos θ Seperti telh kit kethi hw : + cosα () cos θ. () n () n (4) ( ) + ( ) + + ( n... n ) mk khirny diperoleh : n n n n n + n n n

7 Aljr Liner Elementer Adiwijy 5 Contoh 4. : Tentkn kemli hsil kli titik dri d ektor erikt erikt dengn rms di ts i dn i + j Jw : + () + 0 () 4 Berikt ini dlh sift sift hsil kli titik : (i) (ii) ( + c ) ( ) + ( c ) (iii) k k k, dimn k ( ) R Proyeksi Ortogonl St Vektor Secr geometri, proyeksi ortogonl st ektor terhdp ektor lin dpt diilstrsikn segi erikt : w r Pr oy r Gmr 4.6 Proyeksi Ortogonl Vektor Terhdp Vektor

8 54 B 4 Vektor di Bidng dn di Rng Mislkn c proy mk c k ntk st keliptn k R. Sementr it, w merpkn st komponen dri ektor yng tengh lrs terhdp. Perhtikn hw w + c Sehingg : ( w + c ) w + c c k k Dengn demikin k. Oleh kren it, kit peroleh hw : proy. Berikt dlh contoh perhitngn ntk memperoleh ektor hsil proyeksi ortogonl st ektor terhdp ektor yng lin. Contoh 4.4 : Tentkn proyeksi ortogonl ektor w ektor 4 4 terhdp

9 Aljr Liner Elementer Adiwijy 55 Jw : ) ( ) ( 4 4) ( 4 4 Pr w w oy 4. HASIL KALI SILANG (CROSS PRODUCT) Hsil kli silng merpkn perklin ntr d ektor yng kn menghsilkn st ektor r Definisi : Misl dn dlh ektor di rng (R ) mk ektor yng tegk lrs terhdp kedny ( w dn ) dlh sehingg w w w. Ini memktikn hw dn. w Secr geometri, misl (0,0,) dn (0,,0), jik mk w yng tegk lrs terhdp dn yng serh sm x negtif. Arh ektor w di tentkn dengn menggnkn

10 56 B 4 Vektor di Bidng dn di Rng trn tngn knn, dimn rh empt jri dri ektor menj ektor sehingg i jri serh dengn rh ektor w. Z w y x Gmr 4.7 Ilstrsi Hsilkli Silng ntr D Vektor Cr menentkn ektor ntr d ektor yit w iˆ ˆj kˆ Contoh 4.5 : ˆ ˆ i ˆj + k w yng mempnyi hsil kli silng dn dlh segi erikt : ( - ) i ˆ +( - ) ĵ +( - ) k ˆ (,, ) Tentkn w, dengn dn (, 0, ).

11 Aljr Liner Elementer Adiwijy 57 Jw : w iˆ ˆj kˆ ˆ ˆ i j + ˆ k ( - )i ˆ +( - ) ĵ +( - ) kˆ (. 0( ) ) î + ( ( ).) ĵ + (.0.) kˆ iˆ 7 ˆj 6kˆ Beerp sift hsil kli silng yng perl dikethi dlh: Misl dn di rng (R) mk:. ( x ) 0. x c. ( ) 0 ( ) Dri sift ketig dpt kit simplkn hw: ( ) ( ) cosα ( cos α ) ( cos α ) sin α Sehingg kit memperoleh hngn : x sinα

12 58 B 4 Vektor di Bidng dn di Rng Untk memdhkn pemhmn rmsn dits, perhtikn ilstrsi erikt : sinα α Gmr 4.8 Hsilkli Silng D Vektor dengn Derh yng Dientkny Dengn mengc pd gmr 4.8, eerp hl yng diperoleh ntr lin : Ls jjrn-genjng yng dientk oleh ektor & dlh Ls segitig yng dientk oleh,, dn ( ) dlh Agr dpt memperoleh pemhmn leih dlm erikt dlh contoh pliksi hsilkli silng dlm menghitng ls segitig. Contoh 4.6 : Dikethi titik-titik dirng (R³ ) dlh : A (,, ), B (4,, 0), dn C (,, ) Dengn menggnkn hsilkli silng, tentkn ls segitig ABC!

13 Aljr Liner Elementer Adiwijy 59 Jw:. Mislkn, AB dn AC dlh ektor yng erimpit pd titik A. Tlis AB B A (4,, 0) (,, ) (,, ) AC C A (,, ) (,, ) (, 4, 5) Dengn menggnkn ked ektor terset diperoleh : iˆ ˆj AB AC 4 iˆ ˆj + 0kˆ kˆ 5 Sehingg ls segitig ABC yng erimpit di A dlh : AB AC Mislkn, BA dn BC dlh ektor yng erimpit pd titik B. BA (,-,-) (4,,0) (-,-,-) BC c (,,) (4,,0) (-,,)

14 60 B 4 Vektor di Bidng dn di Rng BA BC iˆ ˆj kˆ iˆ + kˆ 0 ˆj Sehingg ls segitig ABC yng erimpit di B dlh : BA BC Dengn demikin, wlpn titik cn (sdt) yng ered-ed tetpi ls segitig it dlh tetp yit 7

15 Aljr Liner Elementer Adiwijy 6 Ltihn B 4. Tentkn cos sdt yng terentk oleh psngn ektor erikt : 8 6. dn 7 8. dn terhdp ektor. Tentkn proyeksi ortogonl ektor dn tentkn pnjng ektor proyeksi terset:. dn. dn. Tentkn d h ektor stn (ektor dengn pnjng st) yng tegk lrs terhdp ektor 7 4. Tentkn ektor yng tegk lrs terhdp ektor dn ektor Tentkn ls segitig yng mempnyi titik sdt P (, 0, ), Q (, 4, 5) dn R (7,, 9)

16 6 B 4 Vektor di Bidng dn di Rng 6. Mislkn dn w. Sementr it, dn, jik pnjng ektor, dn w msing-msing dlh,, dn. Tentkn sdt ntr dn w 7. Dikethi A(,, ), B(,, ), dn C(,, ) merpkn titik-titik pd rng XYZ.. Tentkn proyeksi ektor AC terhdp ektor. Tentkn ls segitig ABC AB

dokumen-dokumen yang mirip

Aljabar Linear Elementer

Aljabar Linear Elementer Aljr Liner Elementer MA SKS Sils : B I Mtriks dn Opersiny B II Determinn Mtriks B III Sistem Persmn Liner B IV Vektor di Bidng dn di Rng B V Rng Vektor B VI Rng Hsil Kli Dlm B VII Trnsformsi Liner B VIII